Analyse et calcul matriciel

Public concerné et conditions d’accès

Avoir été reçu à l'UE MVA005 ou pouvoir justifier la réussite à un examen portant sur un programme de niveau comparable.

Finalités de l’unité d’enseignement

Objectifs pédagogiques

  • Partie Analyse : Apprendre la représentation des fonctions par des séries, les principales transformations et leurs applications.
  • Partie Algèbre :Apprendre le calcul matriciel.

Capacité et compétences acquises

  • Utilisation des séries dans les applications: en mathématiques, mécanique, traitement du signal, automatique, etc.
  • Avoir compris les enjeux de la convergence même si les calculs ne peuvent pas être justifiés dans les espaces d'énergie à ce niveau.
 

Organisation

Nombre de crédits enseignements ECTS

6 ECTS

Modalités de validation :

2 sessions d'examen.   La première session de l'examen aura lieu à la fin du cours.  Un examen de rattrapage (deuxième session) est prévu environ 2 mois après la fin du cours. 

Contenu de la formation

1 Généralités sur les séries numériques
 
 

  • Suites numériques : rappels.
  • Séries numériques : définitions et exemples (Série géometrique) ; convergence absolue ; critères de convergence pour séries à termes positifs (régle de D'Alembert, régle de Cauchy, etc.) ; Critères de convergence pour séries à termes quelconques (Séries alternées, Règle d'Abel, etc.).
 
2 Représentation des fonctions
  • Séries entières, disque de convergence, fonctions analytiques, développement en série entière des fonctions usuelles, application à la résolution de certaines équations différentielles. 
  • Fonctions périodiques, séries trigonométriques, coefficients de Fourier, Séries de Fourier, théorème de Jordan-Dirichlet, formule de Bessel-Parseval. 
 
3 Transformation de Fourier
  • Espaces L^1 et L^2 ; Transformée de Fourier ; transformation de Fourier inverse ; propriétés de la transformée de Fourier (Dilatation, Retard, Translation, Symétrie) ; Transformée de Fourier et dérivation ; formule de Bessel-Parseval ; Convolution. 
 
4 Calcul matriciel.
  • Matrices à coefficients réels (et éventuellement complexes), opérations sur les matrices.
  • Déterminant, matrices inversibles. On insistera sur la vision géométrique du déterminant et des matrices inversibles: le déterminant est une forme volume, les matrices inversibles conservent les parallélogrammes, les parallélépipèdes,...Le calcul du déterminant ne sera présenté qu'en dimension 2 et 3. Les considérations numériques pourront être évoquées pour justifier la nécessité de développer des outils de calcul scientifique performants.
  • Valeurs propres, vecteurs propres, multiplicité des valeurs propres, diagonalisation.
  • Application au calcul des puissances d'une matrice et aux exponentielles de matrices. Exemple en mécanique: matrice d'inertie.
 
5 Résolution de systèmes différentiels
  • Résolution des systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants par la transformation de Laplace ou en utilisant la notion d'exponentielle de matrice. A ce sujet on introduira rapidement la transformée de Laplace.
 

  • Crédits européens
  • Format Pdf 
Code : MVA101
Signature CNAM